بحث عن الدوال المثلثية ومعكوساتها.. قوانين الدوال المثلثية بالانجليزي

يعد بحث عن الدوال المثلثية من الركائز الأساسية في علم الرياضيات، ولها تطبيقات واسعة تمتد إلى الفيزياء والهندسة والفلك والبرمجيات، تعبر هذه الدوال عن العلاقات الزاويّة في المثلثات، وخصوصًا المثلث القائم الزاوية، وهي تربط بين زوايا المثلث وأضلاعه، نشأت دراسة هذه الدوال في الحضارات القديمة مثل الحضارة اليونانية والهندية، ثم تطورت مع العلماء المسلمين وأصبحت أداة رياضية لا غنى عنها في العصر الحديث.

بحث عن الدوال المثلثية

• الدوال المثلثية تصف العلاقة بين زوايا المثلث القائم وأطوال أضلاعه.
• الدوال الأساسية هي: الجيب (sin)، وجيب التمام (cos)، والظل (tan).
• تعتمد هذه الدوال على زاوية معينة في المثلث القائم لتحديد القيم.
• الجيب (sin) يساوي نسبة المقابل إلى الوتر.
• جيب التمام (cos) يساوي نسبة المجاور إلى الوتر.
• الظل (tan) يساوي نسبة المقابل إلى المجاور.
• تُستخدم في تحليل الموجات، والدوائر الكهربائية، والملاحة الجوية.
• تُدرس في المرحلة الثانوية والجامعية كأساس لفروع رياضية متقدمة.

اقرأ أيضًا: طريقة حساب مساحة المثلث

ملخص الدوال المثلثية

• الجيب وجيب التمام والظل هي الدوال الأساسية.
• توجد دوال مشتقة منها مثل القاطع (sec) والقاعدة (cot) والظل العكسي.
• تتغير قيم الدوال المثلثية بحسب قياس الزاوية.
• لكل زاوية قيمة ثابتة للدوال المثلثية المرتبطة بها.
• قيم الدوال تتكرر دورياً كل 360 درجة أو 2π بالراديان.
• الرسم البياني للدوال المثلثية يظهر نمطاً دورياً.
• تُستخدم لتبسيط الحلول المعقدة في المعادلات الهندسية.
• تتميز بتطبيقات حيوية في الحياة الواقعية، مثل الصوت والإضاءة.

الدوال المثلثية ومعكوساتها

• معكوس الدوال المثلثية تُستخدم لإيجاد الزاوية عند معرفة النسبة.
• الدوال العكسية هي: arcsin، arccos، arctan.
• تُستخدم معكوسات الدوال المثلثية لحل المثلثات المجهولة.
• arcsin(x) تعطي الزاوية التي يكون sin لها مساوياً لـ x.
• arccos(x) تعطي الزاوية التي يكون cos لها مساوياً لـ x.
• arctan(x) تعطي الزاوية التي يكون tan لها مساوياً لـ x.
• تقيد القيم في المعكوسات في نطاق زاوٍ محدد لتحديد الزاوية بدقة.
• لها استخدامات في البرمجة والرسومات الهندسية ثلاثية الأبعاد.

قوانين الدوال المثلثية

• sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1sin2(x)+cos2(x)=1
• 1+tan⁡2(x)=sec⁡2(x)1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)1+tan2(x)=sec2(x)
• 1+cot⁡2(x)=csc⁡2(x)1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)1+cot2(x)=csc2(x)
• sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x)
• cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)cos(2x)=cos2(x)−sin2(x)
• tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan⁡2(x)\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 – \tan^2(x)}tan(2x)=1−tan2(x)2tan(x)​
• جمع وطرح الزوايا:
  • sin⁡(a±b)=sin⁡(a)cos⁡(b)±cos⁡(a)sin⁡(b)\sin(a ± b) = \sin(a)\cos(b) ± \cos(a)\sin(b)sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)
  • cos⁡(a±b)=cos⁡(a)cos⁡(b)∓sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a ± b) = \cos(a)\cos(b) ∓ \sin(a)\sin(b)cos(a±b)=cos(a)cos(b)∓sin(a)sin(b)
• دوال الزوايا المرجعية (Quadrantal angles) مثل 0°, 90°, 180°, 270°.

اقرأ أيضًا: الفرق بين المحيط والمساحة

الدوال المثلثية بالانجليزي

• Sine (sin): opposite / hypotenuse
• Cosine (cos): adjacent / hypotenuse
• Tangent (tan): opposite / adjacent
• Cosecant (csc): 1 / sin
• Secant (sec): 1 / cos
• Cotangent (cot): 1 / tan
• Periodic functions: They repeat every 360° or 2π radians.
• Common applications: wave motion, oscillations, engineering, astronomy.

قوانين الدوال المثلثية بالانجليزي

• sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1sin2(x)+cos2(x)=1
• 1+tan⁡2(x)=sec⁡2(x)1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)1+tan2(x)=sec2(x)
• 1+cot⁡2(x)=csc⁡2(x)1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)1+cot2(x)=csc2(x)
• sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)sin(2x)=2sin(x)cos(x)
• cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)cos(2x)=cos2(x)−sin2(x)
• tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan⁡2(x)\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 – \tan^2(x)}tan(2x)=1−tan2(x)2tan(x)​
• Sum and Difference Formulas:
• sin⁡(a±b)=sin⁡(a)cos⁡(b)±cos⁡(a)sin⁡(b)\sin(a ± b) = \sin(a)\cos(b) ± \cos(a)\sin(b)sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b)
• cos⁡(a±b)=cos⁡(a)cos⁡(b)∓sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a ± b) = \cos(a)\cos(b) ∓ \sin(a)\sin(b)cos(a±b)=cos(a)cos(b)∓sin(a)sin(b)
• Reciprocal identities:
• csc⁡(x)=1sin⁡(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}csc(x)=sin(x)1​, sec⁡(x)=1cos⁡(x)\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}sec(x)=cos(x)1​, cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}cot(x)=tan(x)1​

بحث عن الدوال الدائرية

• الدوال الدائرية هي امتداد للدوال المثلثية، وتُعرّف باستخدام دائرة الوحدة.
• تعتمد على قياس الزاوية بوحدة الراديان بدلاً من الدرجات.
• في دائرة الوحدة، تكون الزاوية هي الزاوية بين نصف القطر والمحور السيني.
• sin⁡(θ)\sin(\theta)sin(θ) يُمثل الإحداثي الصادي للنقطة على دائرة الوحدة.
• cos⁡(θ)\cos(\theta)cos(θ) يُمثل الإحداثي السيني لتلك النقطة.
• tan⁡(θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}tan(θ)=cos(θ)sin(θ)​ طالما أن cos⁡(θ)≠0\cos(\theta) \ne 0cos(θ)=0.
• الدوال الدائرية تُستخدم في تمثيل الحركات الدورية كالموجات والصوت.
• تُظهر رسوماتها البيانية نمطاً تكرارياً لا نهائيًا، مما يجعلها مهمة في دراسة التذبذبات والدوران.

يعد بحث عن الدوال المثلثية من الأدوات الرياضية البالغة الأهمية، وقد أثبتت فعاليتها في تسهيل فهم العلاقات الهندسية والفيزيائية، سواء في الحسابات النظرية أو في التطبيقات العملية كالهندسة والبرمجة والفضاء، تبقى هذه الدوال مفتاحًا أساسيًا لفهم الأنظمة المعقدة، ومع توسع مجالات التكنولوجيا، تزداد الحاجة لإتقان هذه المفاهيم، مما يجعل دراستها ضرورة علمية ومهارية لكل طالب ومهتم بالرياضيات والعلوم.